Determinan Matriks dan Sistem Persamaan Linier (Elminasi Gauss dan Dekomposisi Matriks)

1.Determinan Matriks

Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu.simbol det(A) atau |A|.Jika nilai det(A)=0, maka matriks bujur sangkar tersebut singular, artinya tidak memiliki invers,Jika nilai det(A) 0, maka berarti matriks A tersebut nonsingular, yaitu matriks tersebut punya invers.

Determinan ini merupakan besaran skalar atau besaran yang hanya memiliki besar/nilai. Unsur matriks yang dimaksud adalah unsur matriks persegi. Apa itu matriks persegi? Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Misalnya, suatu matriks A adalah matriks 2 × 2 dengan unsur sebagai berikut.

Nilai determinannya dinyatakan sebagai berikut.

det A = |A| = ad – bc

Sifat - sifat Determinan Matriks

Adapun sifat - sifat Determinan Matriks adalah sebagai berikut :

Contoh Soal 1

Tentukan Nilai dari Det 3P-1Q!

Pembahasan :

Pertama, tentukan dahulu determinan mastrik P dan Q.

Matriks P

Matriks Q

Untuk mencari determinan matriks 3P-1Q gunakan sifat matriks berikut.

det kAn×n = kn det An×n.

Dengan demikian:

Jadi, nilai det 3P-1Q = 9

Determinan Matriks 3 × 3

Cara menentukan determinan matriks 3 × 3 berbeda dengan cara menentukan determinan matriks 2 × 2. Determinan matriks 3 × 3 bisa ditentukan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut:

1. Cara determinan

Adapun cara determinan untuk matriks 3 × 3 bisa kamu lihat di contoh berikut ini.

Contoh Soal 2

Pembahasan:

Determinan matriks tersebut bisa ditentukan dengan cara berikut.

Jadi, determinan matriks S di atas adalah 36.

2. Cara Sarrus

Cara sarrus ini adalah cara yang paling mudah untuk mencari determinan matriks 3 × 3. Adapun langkah-langkah yang harus kamu perhatikan adalah sebagai berikut.

Semua unsur matriks yang berada di 2 kolom pertama, kamu salin ke kolom paling belakang (kolom 4) dengan tanpa mengubah urutan kolomnya, ya.
Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kanan bawah, lalu jumlahkan hasilnya. Sebut saja hasilnya sebagai KA.
Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kiri bawah, lalu jumlahkan hasilnya. Sebut saja hasilnya sebagai KI.
Secara matematis, determinan matriks 3 × 3 dinyatakan sebagai berikut.

Contoh Soal 3

Pembahasan:

Salin semua unsur yang berada di 2 kolom pertama ke kolom 4.

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kanan bawah.

KA = 0 + (-12) + 18 = 6

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kiri bawah.

KI = -24 + (-6) + 0 = -30

Dengan demikian, hasil det S menggunakan cara sarrus adalah

det S = KA – KI = 6 − (−30) = 36.

2.Sistem Persamaan Linier Eleminasi Gauss/Gauss Jordan

Eleminasi Gauss

Eliminasi gauss ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss, metode ini dapat dimanfaatkan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan merepresentasikan (mengubah) menjadi bentuk matriks, matriks tersebut lalu diubah kebentuk Eselon Baris melalui Operasi Baris Elementer. Kemudian sistem diselesaikan dengan substitusi balik.

Ciri - ciri metode gauss :

Dalam metode ini terdapat tiga jenis operasi yang dapat digunakan yaitu :

Mengganti urutan dua baris
Mengalikan baris dengan angka yang bukan nol
Menambah suatu baris dengan baris yang lainnya

Contoh Soal :

Diketahui SPL 3 variabel

2x + 3y - z = 6

x + 2y - 4z = 8

x + y + 4z = 4

Tentukan nilai dari variabel - variabel SPL diatas !

Penyelesaian :

Tahap Pertama

Mengubah persamaan linear tersebut menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi

Tahap Kedua

Mengubah baris pertama kolom pertama ( a11 ) menjadi angka 1

Hasil dari a11, a12, a13 dan a14 ini akan menjadi baris pertama ( b1 ) dan untuk bilangan lainnya tetap sama.

Tahap Ketiga

Mengubah baris ke-2 pada kolom pertama ( a21 ) menjadi angka nol dan mengubah baris ke-2 pada kolom ke-2 ( a22 ) menjadi angka 1

Hasil dari a21, a22, a23 dan a24 ini akan menjadi baris ke-2 ( b2 ), nilai untuk bilangan lainnya tetap sama.

Tahap Keempat

Mengubah baris ke-3 pada kolom pertama ( a31 ) dan baris ke-3 pada kolom ke-2 ( a32 ) menjadi angka nol dan baris ke-3 pada kolom ke-3 ( a33 ) menjadi angka 1

Hasil dari a31, a32, a33 dan a34 ini akan menjadi baris terakhir atau baris ke-3 ( b3 ).

Tahap Terakhir

Setelah melengkapi ciri - ciri dari eliminasi gauss dan mendapatkan matriks yang eselon baris, kita dapat melanjutkannya dengan mencari nilai variabel x, y dan z dengan mensubstitusikannya. Caranya yaitu :

Dari matriks diatas maka didapatkan SPL 3 variabel yang baru yaitu :

x + y + 3z = -2

y - 7z = 10

z = 6

Kemudian kita harus mensubstitusikan persamaan linear diatas untuk memperoleh nilai variabel x, y dan z. karena nilai z sudah diketahui yaitu :

z = 6

Maka, langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari variabel y dengan mensubtitusikannya dengan persamaan linear dengan persamaan pada baris ke-2.

y - 7z = 10

y - 7(6) = 10

y - 42 = 10

y = 10 + 42

y = 52

Dan terakhir kita akan mencari nilai dari variabel x dengan mensubstitusikannya dengan persamaan linear pada baris pertama.

x + y + 3z = -2

x + 52 + 3(6) = -2

x + 52 + 18 = -2

x + 70 = -2

x = -2 - 70

x =-72

dengan ini maka, kita sudah mendapatkan nilai - nilai dari variabel diatas yaitu x = -72, y = 52 dan z = 6

Eleminasi Gauss Jordan

Eliminasi gauss-jordan ini adalah pengembangan dari eliminasi gauss yang hasilnya lebih disederhanakan lagi. Metode ini dimodifikasi oleh Wilhelm Jordan seorang insinyur Jerman pada tahun 1887. Dengan metode ini selain dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear juga dapat digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Sehingga untuk mengoperasikan persamaan linear cara penyelesaiannya pun hampir sama dengan metode gauss, namun pada metode gauss kita hanya menghasilkan matriks yang eselon baris sedangkan metode eliminasi gauss-jordan ini perbedaanya hanya kita harus membuat elemen elemen diatas maupun dibawah diagonal utama menjadi bernilai nol. Sehingga hasilnya menjadi matriks eselon yang tereduksi yaitu menjadi sebuah matriks dengan diagonal satuan atau matriks identitas ( semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, sedangkan elemen lainnya bernilai nol ). Tahap pengerjaanya sama dengan metode sebelumnya yaitu eliminasi gauss menggunakan cara elementer.

Contoh soal :

Diketahui SPL 3 variabel

x + 3y + 2z = 4

2x + 7y + 4z = 6

2x + 9y + 7z = 4

Tentukan nilai dari variabel - variabel persamaan linear diatas !

Penyelesaian :

Tahap Pertama
Sama seperti metode gauss, pertama kita harus mengubah persamaan linear 3 variabel diatas menjadi sebuah matriks yang teraugmentasi.

Tahap Kedua
Karena baris pertama pada kolom pertama ( a11 ) sudah bernilai 1. Maka, kita akan mengubah baris ke-2 ( b2 ) terlebih dahulu.

Hasil dari a21, a22, a23 dan a24 akan menjadi baris ke-2 ( b2 ) dan untuk elemen lainnya tetap sama.

Tahap Ketiga
Selanjutnya kita akan mengubah nilai pada baris ke-3 ( b3 ).

Hasil dari a31, a32, a33 dan a34 akan menjadi baris ke-3 ( b3 ).

Tahap Keempat
Karena baris pertama pada kolom ke-2 ( a12 ) dan baris pertama pada kolom ke-3 ( a13 ) belum bernilai nol, maka kita masih harus mengoperasikannya agar bernilai nol sehingga menjadi matriks yang tereduksi.

Hasil dari a11,a12,a13 dan a14 ini akan menjadi baris ke-1 ( b1 ).

Hasil dari a11, a12, a13 dan a14 ini akan menjadi tahap terakhir untuk mengoperasikan baris pertama

( b1 ), sehingga kita sudah mendapatkan matriks yang tereduksi.

Tahap Akhir:

Setelah kita menghasilkan matriks eselon tereduksi yang membentuk sebuah matriks identitas seperti diatas, maka kita tidak perlu mensubstitusikannya seperi pada eliminasi gauss karena, sudah dapat diketahui nilai variabelnya yaitu : x = 26, y = -2 dan z = -8 .

3.Sistem Persamaan Linear Dekomposisi Matriks Metode Crout dan Metode Doolittle

Dekomposisi Matriks

Dekomposisi (Faktorisasi) merupakan salah satu solusi yang digunakan pada matriks untuk menyelesaikan permasalahan mencari nilai Determinan matriks. Dekomposisi matriks menguraikan matriks Non-Sungular menjadi 2 Bagian, Yaitu Matriks Segitiga Bawah (L) dan Matriks Segitiga Atas (U)

Dekoposisi Crout

Suatu matriks A(n×n) tak singular dapat difaktorkan menjadi hasil kali suatu matriks segitiga atas U dan matriks segitiga bawah L. Agar matriks-matriks L dan U tunggal maka elemen-elemen diagonalnya tidak boleh sebarang. Dekomposisi Crout merupakan suatu algoritma yang efisien untuk memecah [A] atas [L] dan [U], sehingga dapat ditulis [L][U] = [A].